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欧式期权定价时,【风险中性概率】和已知条件不一致时，用哪个？
二叉树定价binomial pricing（risk neutral，no arbitrage），一个asset price是100，有50%几率变成125，50%几率变成80，k=110，r=0，求call price？————————————–这道题中，根据求风险中性概率的公式可以得到：125*p+80*(1-p)=100*e^rt
来算出risk neutral probability p=4/9，但是题目中说的是p=50%，这是多余条件还是干扰条件吗？但是不一致是什么鬼？有时候用历史数据测得的概率与算出的概率不一致的时候又应该怎么办呢？谢谢大家！
回复 ( 9 )
我觉得我终于可以来回答这个之前困扰我两年的问题了：
中性测度这个东西之所以难以理解就是因为他有两套极难联系起来的解释方式，金融体系下和数学体系下。题主既然是对这个概率本身有疑问了那我就回答个不那么绕人金融体系的：
BSM 大家都知道，那么我再写一个BSM（call）的另一个形式，也是大家都知道的：
（delta股-1权）*dt*rf=(delta*d股-d权）
这个是BS的原始形式，意思是，delta股-1权这个组合，因为风险被对冲掉了，在dt时间内的收益一定是组合价值乘以rf
那么问题来了，既然这个组合的收益必等于rf(假如套利机会一出现就被人实行而消失），而权是股的衍生品，必须和股共享收益率（不然标的不等）。根据以上条件就会出现一个金融界里获得了诺奖的推论：
假如我这权的定价是无套利的，那么他的收益率必须用rf才能使所有参与者都心服口服
没有套利机会，在金融学里，定出的价有套利机会的模型会被视为“垃圾”，这里注意无套利这个要求是对模型的要求。现实中模型无套利意义是这个无套利的模型可以用来发现套利机会
这个假设下算出的概率就是我们传说中的中性概率（这个概率所对应的测度叫做中性测度，也叫Q测度）
然而实际上，因为存在套利机会（那个经典的经济学笑话，地上掉了100块，他不会存在在那里），所以当确实发现股票收益大于风险收益的时候，套利机会是存在。这个市场对应所算出来的概率叫真实测度，也叫P测度
所以对题主问题的教科书回答是:When pricing， we’re in Q measure
首先要知道风险中性概率是怎么来的，根在哪？
下图是Shreve的《金融随机分析》中最先出现风险中性概率![\tilde{p}]()
的地方。
第一，引入![\tilde{p}]()
和![\tilde{q}]()
完全就是为了方便求解（1.1.3）和（1.1.4）,这完全是从方便数学求解的角度。
第二，从方便求解的目的来看，![\tilde{p}]()
可以取非0的任意值，那么我们就来选择一个值作为![\tilde{p}]()
，这时就有了（1.1.6）式。通过（1.1.6）来确定![\tilde{p}]()
显然是别有用心的——简单来说，就是未来值的确定用![\tilde{p}]()
和![\tilde{q}]()
来加权计算而不是用真实概率p和q的话，（不管![\Delta]()
是多少）资产组合的收益率都是r，那么直接根据收益率的定义公式就直接能算得![x_{0
}]()
。所以这里的别有用心还是为了方便数学计算。
综上，从引入![\tilde{p}]()
到确定![\tilde{p}]()
具体取何值都是为了数学上的方便计算，无关金融，无关概率。
对于这个所谓的“风险中性概率”名字，我们分为两部分理解—–风险中性与概率。
首先，要了解风险中性的含义，风险中性的投资者对自己承担的风险并不要求风险补偿，投资者对风险不要补偿,所有证券的预期收益率都是无风险利率。从![\tilde{p}]()
值的确定公式（1.1.6），可以发现，若以![\tilde{p}]()
和![\tilde{q}]()
来加权计算未来的股价S1,则股票的预期收益率便是无风险利率 r —–这正好契合了风险中性的含义。所以给它安个“风险中性”的名字是合理的。
其次，从前面![\tilde{p}]()
和![\tilde{q}]()
的引入及具体值的确定过程来看，它们根本和概率没有半点关系，但是它长的太像概率了—–都是正值且两者之和为1。于是，为了在金融上直观理解的方便，就给它取了个“概率”的名字。你可以从长相上将其认为是概率，但是人家是为了方便数学计算而生的！
综上，便有了这个所谓的“风险中性概率”的名字。
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第一次知乎作答，刚入金融数学的新手，愿批评指正，相互交流学习。
其中![p]()
为在![t_1]()
时刻具有![x]()
payoff 的资产在![t_0]()
时刻的价格，![\tilde{E}]()
为风险中性测度下的期望。
来跟我默念三遍：
“任一资产的价格，等于其支付向量在风险中性测度下的期望对无风险利率的贴现”。跟真实的概率没有一！毛！钱！的！关！系！
因为，这个“风险中性概率”，真真正正是构造出来的。整个故事大概是这样的：（我只是提纲 ）
No Arbitrage ~ Law of One Price ~ Linear Pricing Function ~ Arrow-Debreu Security ~ State Price ~ Risk-free Interest Rate.
整个推导过程，没有用到任何关于真实概率的假设。
然后的然后，在用Arrow-Debreu security的state price表示任一资产的价格时，我们发现其形式跟离散型随机变量的期望非常相似，式子里还有一个东东，满足：非负、规范、可列可加。于是乎就给它取了一个名字——风险中性概率（Risk neutral probability）
如果的如果，你想用真实的概率去求期望再贴现，那么，就引出了Stochastic Discount Factor（SDF随机贴现因子）和测度变换，SDF正好就是Radon-Nikodym derivative.
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懒癌晚期患者该去搞（zuō）学（dà）术（sǐ）了，占个坑，待填。
你主要的困惑在于没有分清真实概率（也就是我们说的P－测度）和风险中性概率（Q－测度）之间的区别。题目中所说的50%概率上升或者下降，这个是所谓的“真实概率”，即某种经验概率，这个概率既可以是从大量重复实验中得到的，也可以是观测历史数据总结出来的。而你所计算出来的4/9这个是所谓的“风险中性概率”，这个概率并不是真正的“概率”，而是人为构造出来的一个假概率。
一种构造风险中性概率的方法是把所谓的“state price”乘上risk-free rate，因为无风险资产的回报恒等于risk-free rate，可以知道state price的L-0 norm等于1/Rf。按照这样构造，state price * Rf是一个分量和为1的、严格正的（state price >0 iff no arbitrage）向量，这个看起来很像一个概率测度，于是我们称其为风险中性测度。
以上只是一种构造risk-neutral probability的方法，还有很多不同的流派，大体思想都相似，即，风险中性测度（Q测度）并不是真实的概率分布，而是满足以无风险资产折现的一个概率测度而已。
风险中性概率不是概率，如果你想用无套利定价原理，是用了期权复制的思想，给真实概率无关。
这个就是个模型假设的问题，你用的方法是经典crr模型，cox box robinstein model。题目简化假设是个等上步和下步概率问题，你可以按照等概率求解。无所谓不一致问题。
佩服的跪了，高智商就是高智商
不一样就是有一个错了咩 就是有套利机会撒
风险中性测度并不是一个现实的概率，而是由现实价格推算出来的“假概率”。
比如说有一个资产，过一年后有0.2%的概率能赚1000块钱，其他情况不值一分钱。那么可以推出期望收入大概是2块钱，但是现实中如果有这样一个资产在卖的话（不考虑利息），基本是卖不到2块钱的，也许只有1元。因为如果买的话基本都是在亏钱，一般人都不相信那点小概率能落到自己头上，谁也不傻嘛不是～
于是就有了这样一个奇怪的现象：资产期望收益与现实价格不一样。
于是搞有人就开始思考了：哇擦！居然不一样，要肿么办，那就定义一个假概率吧，算起来大概1/1001能涨，其他时候跌。这样的测度下期望收益与价格就相同了。
你可能看不明白了，这有毛用啊！
当然有用。
比如当市场上出现了一个期权，可以保证你有权利一年后以1块钱的价格把这个资产买来，那么你会发现要么运气好的话期权能赚1000元，不好的话也不就付出个期权的价格c嘛。
画一下图图：
资产A：
1—–1001（赚1000）
\
0
期权C：
c——1000
\
0
然后聪明的你一定发现了，1000A-1001C即买1000份资产A同时卖掉1001份期权，最终无论发生什么都是0元。
这回好了，反正无论一年后发生什么都是0元，那么这个组合肯定在一年前也是0元，还是那句话，谁也不傻嘛～
这样我们就有结论了，A一年前值1元，可以求得c也就是期权的价格应该是1000/1001大概是1块钱不到。这就是基本的期权定价思想。
然后聪明的你一定发现了，这跟风险中性测度有毛关系？
当然有关，你会发现，期权的价格刚好就等于在风险中性测度底下的期望。
这就是风险中性测度。在这个测度下，价格就等于期望收益。
所以聪明的你马上就学会了，哇塞！我可以随便写出一个鬼东西，知道它一年后值多少钱求个期望就能知道现在值多少钱！
而且通过前面的推倒（什么奇怪的东西混进来了）可以看出，现实概率到底是多少根本无所谓啊，求出来的期权价格都是一样的，只取决于风险中性测度。
而且上面的出现的资产和期权的比例1000:1001就是hedge ratio，然后你就可以通过这个比例去对冲掉上涨或下跌的风险。