不妨从上境图（epigraph）的角度考虑这个问题。我们知道, function is convex iff its epigraph is convex. 那么集合 是凸集，同样也是凸集,而 是 hyperplane, 显然也是凸集。令. 注意到, 和 是 向量值函数，上述不等式代表逐项不等。就是空间中上述各凸集的交集，因而还是凸集。将这一凸集向方向投影，就是题目中给出的, convexity is preserved.
PS. 感觉题主自己给出的证明有一点flaw. 因为集合A的定义中只有u,v,t没有x, 好像x 是给定的; 而两点组合就变化了x的值。
为什么primal problem 是 convex problem的时候A是一个凸集？说明：限制在convex problem里意味着
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谢邀。
根据定义验证就行了。取两个A里面的元素，他们分别对应x和y（定义里面的x y），那么这两个元素的凸组合对应x和y的凸组合，那么你验证x和y的凸组合会使得那两个元素的凸组合也落在A里就行。
不要看到一大堆记号就失去了思考的勇气。数学里面很多时候就是用一大堆符号来讲述一件很trivial的事情而已。
感谢 @Yuhang Liu 大神的提示，按照你的指导我尝试着写下貌似确实不算困难的证明，其实抛开这个本身问题不说，大神说的以下这段话非常值得吾人思考：
下面开始简单论证，题面：
其中![f_i,i=0,...,m]()
是convex function，![h_i,i=1,...,p]()
是affine function，求证![A]()
是凸集。
证明：
取![A]()
中任意两点![a=(u_a,v_a,t_a)\in A,\ b=(u_b,v_b,t_b)\in A]()
，设![\theta \in(0,1)]()
则可以得到：
则有以下三条重要关系：
所以![\exists( \theta x_a+(1-\theta)x_b)\in D]()
对于![(\theta u_a+(1-\theta)u_b,\theta v_a+(1-\theta)v_b,\theta t_a+(1-\theta)t_b)]()
有上述三条重要关系成立。
所以![(\theta u_a+(1-\theta)u_b,\theta v_a+(1-\theta)v_a,\theta t_a+(1-\theta)t_a)\in A]()
所以根据凸集定义集合![A]()
是凸集。
证毕。
不妨从上境图（epigraph）的角度考虑这个问题。我们知道![\mathbf{epi} \ f = \left\{ (x,t) | f (x) \leq t \right\}]()
, function ![f]()
is convex iff its epigraph is convex. 那么集合![\left\{ (x,u_i) | f_i(x) \leq u_i \right\}]()
是凸集，同样![\left\{ (x,t) | f_0(x) \leq t \right\}]()
也是凸集,而 ![\left\{ (x,v_j) | h_j(x) = v_j \right\}]()
是 hyperplane, 显然也是凸集。令![S = \left\{ (x,u,v,t) | f(x) \leq u, f_0(x) \leq t, h(x) = v\right\}]()
. 注意到![x \in R^n]()
, ![f(x)]()
和 ![g(x)]()
是 向量值函数，上述不等式代表逐项不等。![S]()
就是![R^n \times R^m \times R^p \times R]()
空间中上述各凸集的交集，因而还是凸集。将这一凸集向![x]()
方向投影，就是题目中给出的![\cal{A}]()
, convexity is preserved.
PS. 感觉题主自己给出的证明有一点flaw. 因为集合A的定义中只有u,v,t没有x, 好像x 是给定的; 而两点组合就变化了x的值。