为什么beta分布可以写成二项分布的和，gamma分布可以写成泊松分布的和？

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如题。看过关于gamma表示成指数函数和的解释，两个都是连续性分布还比较好理解，但是连续型分布能表示成离散型的和，本质原因是什么呢？泊松分布和二项分布之间的关系，可否类推到gamma和beta之间？

2017年7月24日 1 条回复 770 次浏览
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发起人：AzuralRainbow 管理大师

囿于昼夜厨房与爱，内心却有山川湖海。

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  1. 匿名用户
    匿名用户 管理大师
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    这个是 泊松到达过程中的对偶。

    考虑到达间隔为i.i.d. Exp(c)的泊松过程，那么第k次到达的时刻服从Gamma(k,c) 分布，而T时刻前的到达数量服从Poisson(cT)。

    注意到P(第k次到达在T时刻之后)=P(T时刻之前只有k-1次到达)

    两边比较一下就有题主说的等式了。

    Beta(a,b) 分布可以看做a个i.i.d. Exp(1) 和 a+b个i.i.d. Exp(1) 的比值，进一步等同于[0,1]间有a+b个点，第a小的点的大小。

    所以P(Beta(a,b)>y)=P(有a+b个点在[0,1]区间，有不超过a-1个在[0,y]之间)

    =P(Binomial(a+b,y)<=a-1)。

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