首先是推广到两个国家许多种商品加一种要素的情形，这个的证法和2+2+1的情形是完全一样的，只是把证明过程用矩阵重新写了一遍而已。很多本科的国际贸易课都会讲这种情形，我自己最推荐的是Helpman 2530a的课件，讲得非常清楚。另外还要说一点，每个国家至少不会在贸易中受损这一点其实不需要引入比较优势，只需要凸的偏好+凸的科技+完全竞争+代表性个体就可以直接证。Helpman的课件有证明，而且很简单。这个结论在更复杂的情况下也可以证（Eaton and Kortum, 2002; Arkolakis, Demidova, Klenow and Rodriguez-Clare, 2008)。如果偏好严格凸或者生产集严格凸，严格受益就可以证。假定的前两个很难放松，非凸性不是经济学家的套路。后两点可以放松，不过模型相对来说就要难很多了。如果想拿掉完全竞争，基本就是规模报酬递增+垄断竞争的处理方法（Krugman，1990）；如果想引入企业或者消费者的异质性，用H-O设定的比较多，比较优势只在企业层面上发挥作用（Bernard, Redding and Schott，2004）。同时放松两者的就是Melitz的经典文章了（Melitz，2003）。也有用比较优势的思路+Melitz的框架来处理贸易问题的，得到的结论和原始的比较优势模型是一致的（Okubo，2009）。
进一步的推广是DFS模型，这个模型的设定就是李嘉图的比较优势，进一步推广到了两个国家连续统商品加一种要素的情形（Dornbusch, Fischer and Samuelson, 1977）。结论非常直观，和2+2+1的模型是一样的。如果有一段商品被生产，那么中间会有一个cutoff，两个国家各自专业化生产一边。在初始模型有的结论这里基本都有，比如说某些个体可能在贸易中受损，存在一个总转移支付使得每个人都变好，等等。这个模型的求解和原始形式很像，求解用的方法也是一样的，供需平衡+贸易平衡，而且可以做很多方面的拓展，比如存在非贸易品，存在冰山成本，有关税，有浮动/固定汇率制度等。出来的结果也很简单直观，如果存在冰山成本，用DFS模型做出来cutoff不再是一个点而是一整段。因为有这些优点，后面的很多理论/实证文献都很喜欢拿DFS当起点，强烈建议看原文，技术性不算特别强。
再往前就直接到头了，迈出这一步的是国际贸易领域的新晋大牛Costinot。其实在中间有一些程度不等的推广，也有人用一些比较强的函数形式讨论了更一般的贸易情形（Ruffin,1988; Ohnsorge and Trefler, 2004; Helpman Melitz and Yeaple, 2004），但Costinot的工作是基本把比较优势的工作一网打尽了。他在许多国家+许多产品+许多要素的模型中作出了一致的结论（Costinot, 2009)。他最天才的想法，是把以前只在博弈论和理论计量里面使用的技术对数超模函数（log-supermodularity）引入了国际贸易中。对数超模函数的准确定义是：如果一个函数满足对，满足，那这个函数就是对数超模的。对数超模函数的强有力体现在两方面。首先，直观上，它特别好地反映了这样的想法：如果一个函数里面有几个变量的值都已经比较大，那么这时候提升其它变量的值会相对来说更重要。为了明白这一点，可以取一个二元的对数超模函数，对，沿用前面的记号，马上得到。这个形式实际上就是李嘉图模型和HO模型里面禀赋的表达式的一般化，和Milgrom引入的MLRP条件是一致的（Milgrom, 1981）。其次，对数超模函数对于乘法封闭。如果一个对数超模函数是可积的，那么对于任意一个定义在上的有限测度，也是对数超模的。这意味着可以很方便地对这一类函数取概率。后面的讨论比较技术，但主要就是不停地利用这些性质，结论和李嘉图的也是一致的：一类要素比较丰裕的会专门生产此要素密集的产品，每个国家都会从贸易中受益。严格的叙述请参见原文。
最后，Costinot还基于比较优势理论做了很多拓展和实证的工作（Costinot, Donaldson and Komunjer, 2011; Costinot and Donaldson, 2012; Costinot, Donaldson and Smith, forthcoming ) 。其中像最后这篇就特别有意思！以后再讨论比较优势，他的名字绝对避不开了。
参考文献
Arkolakis C, Demidova S, Klenow P J, et al. Endogenous Variety and the Gains from Trade[J]. American Economic Review, 2008, 98(2): 444-50.
Bernard A B, Redding S J, Schott P K. Comparative advantage and heterogeneous firms[J]. The Review of Economic Studies, 2007, 74(1): 31-66.
Costinot A. An elementary theory of comparative advantage[J]. Econometrica, 2009, 77(4): 1165-1192.
Costinot A, Donaldson D. Ricardo’s Theory of Comparative Advantage: Old Idea, New Evidence[J]. The American Economic Review, 2012, 102(3): 453-458.
Costinot A, Donaldson D, Komunjer I. What goods do countries trade? A quantitative exploration of Ricardo’s ideas[J]. The Review of Economic Studies, 2011: rdr033.
Costinot A, Donaldson D, Smith C. Evolving Comparative Advantage and the Impact of Climate Change in Agricultural Markets: Evidence from 1.7 Million Fields Around the World[J]. The Journal of Political Economy, forthcoming.
Dornbusch R, Fischer S, Samuelson P A. Comparative advantage, trade, and payments in a Ricardian model with a continuum of goods[J]. The American Economic Review, 1977: 823-839.
Eaton J, Kortum S. Technology, geography, and trade[J]. Econometrica, 2002: 1741-1779.
Krugman P. Increasing Returns and Economic Geography[J]. The Journal of Political Economy, 1991, 99(3): 483-499.
Melitz M J. The impact of trade on intra‐industry reallocations and aggregate industry productivity[J]. Econometrica, 2003, 71(6): 1695-1725.
Melitz M, Helpman E, Yeaple S. Export Versus FDI with Heterogeneous Firms[J]. American Economic Review, 2004, 94.
Milgrom P R. Good news and bad news: Representation theorems and applications[J]. The Bell Journal of Economics, 1981: 380-391.
Ohnsorge F, Trefler D. Sorting It Out: International Trade with Heterogeneous Workers[J]. Journal of political economy, 2007, 115(5): 868-892.
Okubo T. Firm heterogeneity and Ricardian comparative advantage within and across sectors[J]. Economic Theory, 2009, 38(3): 533-559.
Redding S. Dynamic comparative advantage and the welfare effects of trade[J]. Oxford economic papers, 1999, 51(1): 15-39.
Ruffin R J. The missing link: The Ricardian approach to the factor endowments theory of trade[J]. The American Economic Review, 1988: 759-772.
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先摆结论吧，这个结论可以严格证明，而且这项工作几年前才做出来。我们可以把这个进展一步一步放在这里。起点就是教科书上经常用的，两个国家两种商品一种要素的情形。一些边角的扩展没有涉及，比如动态比较优势（Redding, 1999）。这些部分期待更专业的来整理。
首先是推广到两个国家许多种商品加一种要素的情形，这个的证法和2+2+1的情形是完全一样的，只是把证明过程用矩阵重新写了一遍而已。很多本科的国际贸易课都会讲这种情形，我自己最推荐的是Helpman 2530a的课件，讲得非常清楚。另外还要说一点，每个国家至少不会在贸易中受损这一点其实不需要引入比较优势，只需要凸的偏好+凸的科技+完全竞争+代表性个体就可以直接证。Helpman的课件有证明，而且很简单。这个结论在更复杂的情况下也可以证（Eaton and Kortum, 2002; Arkolakis, Demidova, Klenow and Rodriguez-Clare, 2008)。如果偏好严格凸或者生产集严格凸，严格受益就可以证。假定的前两个很难放松，非凸性不是经济学家的套路。后两点可以放松，不过模型相对来说就要难很多了。如果想拿掉完全竞争，基本就是规模报酬递增+垄断竞争的处理方法（Krugman，1990）；如果想引入企业或者消费者的异质性，用H-O设定的比较多，比较优势只在企业层面上发挥作用（Bernard, Redding and Schott，2004）。同时放松两者的就是Melitz的经典文章了（Melitz，2003）。也有用比较优势的思路+Melitz的框架来处理贸易问题的，得到的结论和原始的比较优势模型是一致的（Okubo，2009）。
进一步的推广是DFS模型，这个模型的设定就是李嘉图的比较优势，进一步推广到了两个国家连续统商品加一种要素的情形（Dornbusch, Fischer and Samuelson, 1977）。结论非常直观，和2+2+1的模型是一样的。如果有一段商品被生产，那么中间会有一个cutoff，两个国家各自专业化生产一边。在初始模型有的结论这里基本都有，比如说某些个体可能在贸易中受损，存在一个总转移支付使得每个人都变好，等等。这个模型的求解和原始形式很像，求解用的方法也是一样的，供需平衡+贸易平衡，而且可以做很多方面的拓展，比如存在非贸易品，存在冰山成本，有关税，有浮动/固定汇率制度等。出来的结果也很简单直观，如果存在冰山成本，用DFS模型做出来cutoff不再是一个点而是一整段。因为有这些优点，后面的很多理论/实证文献都很喜欢拿DFS当起点，强烈建议看原文，技术性不算特别强。
再往前就直接到头了，迈出这一步的是国际贸易领域的新晋大牛Costinot。其实在中间有一些程度不等的推广，也有人用一些比较强的函数形式讨论了更一般的贸易情形（Ruffin,1988; Ohnsorge and Trefler, 2004; Helpman Melitz and Yeaple, 2004），但Costinot的工作是基本把比较优势的工作一网打尽了。他在许多国家+许多产品+许多要素的模型中作出了一致的结论（Costinot, 2009)。他最天才的想法，是把以前只在博弈论和理论计量里面使用的技术对数超模函数（log-supermodularity）引入了国际贸易中。对数超模函数的准确定义是：如果一个函数![g\rightarrow R^{+}]()
满足对![\forall x,x^{'} \in X]()
，满足![g(max(x,x^{'} ))*g(min(x,x^{'} ))\geq g(x)*g(x^{'} )]()
，那这个函数就是对数超模的。对数超模函数的强有力体现在两方面。首先，直观上，它特别好地反映了这样的想法：如果一个函数里面有几个变量的值都已经比较大，那么这时候提升其它变量的值会相对来说更重要。为了明白这一点，可以取一个二元的对数超模函数![g:X_{1}\times X_{2} \rightarrow R^{+}]()
，对![\forall x_{1}^{'} \geq x_{1}^{''}, x_{2}^{'} \geq x_{2}^{''}]()
，沿用前面的记号，马上得到![\frac{g(x_{1}^{'} ,x_{2}^{'})}{g(x_{1}^{''} ,x_{2}^{'})} \geq \frac{g(x_{1}^{'} ,x_{2}^{''})}{g(x_{1}^{''} ,x_{2}^{''})}]()
。这个形式实际上就是李嘉图模型和HO模型里面禀赋的表达式的一般化，和Milgrom引入的MLRP条件是一致的（Milgrom, 1981）。其次，对数超模函数对于乘法封闭。如果一个对数超模函数![g]()
是可积的，那么对于任意一个定义在![X_{i}]()
上的有限![\sigma]()
测度，![\int_{X_{i} } g(x)d\mu _{i} (x_{i} )]()
也是对数超模的。这意味着可以很方便地对这一类函数取概率。后面的讨论比较技术，但主要就是不停地利用这些性质，结论和李嘉图的也是一致的：一类要素比较丰裕的会专门生产此要素密集的产品，每个国家都会从贸易中受益。严格的叙述请参见原文。
最后，Costinot还基于比较优势理论做了很多拓展和实证的工作（Costinot, Donaldson and Komunjer, 2011; Costinot and Donaldson, 2012; Costinot, Donaldson and Smith, forthcoming ) 。其中像最后这篇就特别有意思！以后再讨论比较优势，他的名字绝对避不开了。
参考文献
Arkolakis C, Demidova S, Klenow P J, et al. Endogenous Variety and the Gains from Trade[J]. American Economic Review, 2008, 98(2): 444-50.
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Costinot A, Donaldson D. Ricardo’s Theory of Comparative Advantage: Old Idea, New Evidence[J]. The American Economic Review, 2012, 102(3): 453-458.
Costinot A, Donaldson D, Komunjer I. What goods do countries trade? A quantitative exploration of Ricardo’s ideas[J]. The Review of Economic Studies, 2011: rdr033.
Costinot A, Donaldson D, Smith C. Evolving Comparative Advantage and the Impact of Climate Change in Agricultural Markets: Evidence from 1.7 Million Fields Around the World[J]. The Journal of Political Economy, forthcoming.
Dornbusch R, Fischer S, Samuelson P A. Comparative advantage, trade, and payments in a Ricardian model with a continuum of goods[J]. The American Economic Review, 1977: 823-839.
Eaton J, Kortum S. Technology, geography, and trade[J]. Econometrica, 2002: 1741-1779.
Krugman P. Increasing Returns and Economic Geography[J]. The Journal of Political Economy, 1991, 99(3): 483-499.
Melitz M J. The impact of trade on intra‐industry reallocations and aggregate industry productivity[J]. Econometrica, 2003, 71(6): 1695-1725.
Melitz M, Helpman E, Yeaple S. Export Versus FDI with Heterogeneous Firms[J]. American Economic Review, 2004, 94.
Milgrom P R. Good news and bad news: Representation theorems and applications[J]. The Bell Journal of Economics, 1981: 380-391.
Ohnsorge F, Trefler D. Sorting It Out: International Trade with Heterogeneous Workers[J]. Journal of political economy, 2007, 115(5): 868-892.
Okubo T. Firm heterogeneity and Ricardian comparative advantage within and across sectors[J]. Economic Theory, 2009, 38(3): 533-559.
Redding S. Dynamic comparative advantage and the welfare effects of trade[J]. Oxford economic papers, 1999, 51(1): 15-39.
Ruffin R J. The missing link: The Ricardian approach to the factor endowments theory of trade[J]. The American Economic Review, 1988: 759-772.
Helpman的课件需要的话可以私信戳我，引用内容主要在lecture1的后半部分和lecture2。